1945年。
塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克兰恩在研究拓扑学里的同调论，引进了范畴论。在同态（具有几何直观）转化成同调论（公理化方法）的过程中起了重要作用。不同的“拓扑”问题可以转换至通常较易解答的“代数”问题之上。
在拓扑空间上如基本群或基本群胚等基本的架构，可以表示成由群胚所组成的范畴之间的基本函子，而这个概念在代数及其应用之中是很普遍的。
桑德斯·麦克兰恩说：“对象与对象之间不是孤立的，而是具有许许多多的“联系”的。但是“联系”是一种空泛的词语，它既可以表示对象与对象之间所有联系的集合，也可以表示对象与对象之间所有联系之中的某一条联系。为了使得描述的对象不那么空泛，我们用专有名词“态射”来指代对象与对象之间所有联系中的某一条联系。”
塞缪尔·艾伦伯格说：“一堆对象，以及对象之间的所有态射所构成的一种代数结构，便称之为“范畴”。范畴可以看作集合的更高级产物，因为集合和范畴都含有许多的对象，但集合不强调态射，范畴强调态射。范畴本身也可以看作一个对象，所以范畴与范畴之间也会存在态射，范畴和态射又可以构成新的范畴。”
乌拉姆说：“1930年，波兰也有过类似想法，主要是Bourbaki总结了三种基本数学结构，范畴论将这三种数学结构归结为一种。对数学结构可以统一化描述。”
桑德斯·麦克兰恩说：“态射也可以看成一种对象，所以态射之间也会存在态射。而对象在某种程度上也可以看成一种态射，所以事实上，对象和态射其实是一种东西。这句话不理解没关系，已经超越了范畴论的内容。”
塞缪尔·艾伦伯格说：“一堆对象，以及对象之间的所有态射所构成的一种代数结构，便称之为“范畴”。范畴可以看作集合的更高级产物，因为集合和范畴都含有许多的对象，但集合不强调态射，范畴强调态射。范畴本身也可以看作一个对象，所以范畴与范畴之间也会存在态射，范畴和态射又可以构成新的范畴。”
阿诺德打断道：“那范畴与范畴之间有映射吗？”
塞缪尔·艾伦伯格说：“范畴与范畴之间的映射称之为“函子”。映射是一种特殊的态射，所以函子也是一种态射。我们可以利用范畴和函子构建一种新的范畴。”
阿诺德听完以后有些懵。
桑德斯·麦克兰恩说：“而函子本身也可以看成一种对象，所以函子之间也会存在态射。这种函子之间的态射我们称之为自然变换。”
柯尔莫哥洛夫实在是听不下去了，直接高喊：“先等一下，你们这是在闹什么？我觉得你们创造数学符号和数学名词的时候非常随便和混乱。在我学哲学史的时候有一个非常重要的思路，就是任何一种理论都是要解决一个特定的问题。如果没有这个问题，这一理论就毫无意义。因此在说明一种理论的第一件事，应当是说明这个理论要解决什么问题。你们这些人讲了许多定义，但是没有“问题”。”
塞缪尔·艾伦伯格说：“我这是个十分有用的东西，范畴论直观，更容易理解。是以公理集合论定义，所以都是集合论语言，很冗长。集中使用在代数拓扑，代数几何，代数几何子领域的非交换几何，代数数论。理论物理以来代数几何中非交换几何，所以也用范畴论表示。”
柯尔莫哥洛夫摇摇头说：“仅仅是一个哲学概念，不会很好的精确解决问题。”
阿诺德说：“这些都是抽象到一堆像云雾一样的了？还有其准确性？为什么听起来如此混乱？”
格罗滕迪克说：“如果拿纯粹的集合论表示，那才麻烦，用范畴论让这些变得简化了。”
格罗滕迪克说：“这不但有用，非交换几何十分有用，而非交换几何也只能用以上的理论来解决，所以这是个十分有用的东西。这是可以的，在集合论的基础上，对这些东西进行了严格而精细的改造，出来的这些东西可以规范原有的理论，以此衍生出的新东西当然可以构造出新的理论。对此，有两个问题需要面对：1，如何去规范这套理论，尽量没有任何瑕疵，对待任何瑕疵，都要拿出数学家严谨的一面来解决。如何使用这套理论，让数学家对这些理论有一种情感上的准确把握和认识。”
柯尔莫哥洛夫说：“我就不吐槽态射这个词了，我都快不认识态这个字了。对象和态射既然打包叫范畴，那么范畴到范畴的态射按照正常的思路应该叫什么？高级态射？宏态射？居然叫函子！而且既然箭头往右打，为什么要用一个反向的动词跟随，再把对象反过来写？再加上前面范畴用的是不知道什么字母，后面又变成ABC了，让人非常混乱。”
格罗滕迪克说：“我脑子里想事情不需要问题，只需要直接想定义即可。非交换几何可以一眼就看出其物理意义。也只能用代数几何方法来研究。”格罗滕迪克对那些苏联的土老冒也毫无办法了，看来即使是在数学上杰出的人，也不见得事事都可接受。
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