傅立叶很高兴，看到了同样是自己偶像的拉普拉斯如此热情的找到了自己，并且要主动给自己修改文章。
傅立叶羞涩的说：“谢谢你，我写的乱。”
“没关系，但我有一个新想法。”拉普拉斯对傅立叶说。
傅立叶说：“从我这个方程中得到的吗？”
拉普拉斯说：“当然了。你知道泰勒公式和欧拉方程吧。”
傅立叶说：“没错。”
“还是用e来表示好，三角函数需要考虑角度的变化，有些麻烦。用你的理论结合泰勒级数和欧拉方程这样的公式直接套入到傅立叶变换之中。”拉普拉斯说。
傅立叶笑着说：“说的有理，但是e不好看，我看不出这里会有什么特别的优势。”
“直接用自然对数底来表示，看起来也很简洁明了。最重要的是，很多积分直接的复杂运算，在经过用e的变换之后，都转化成了简单的加减乘数运算了。我这种办法，变得更容易接触积分方程，只需要把不同形式的初等函数都表示成拉普拉斯变换的公式记下来就可以了。”拉普拉斯滔滔不绝的说。
傅立叶对拉普拉斯所说的这个变换的神奇性反应了一会儿，高兴的说：“没错，果真如此，这可是个伟大的革命呀。但是这个可是你发现的，这只能叫拉普拉斯变换了。”
拉普拉斯说：“祝我们合作愉快，你说谁的文章该先发表？”
傅立叶笑着说：“谁先发表也是一样的，本来就是相同的东西。”
而帮助傅立叶修改好文章的四年后，也就是在1811年，傅立叶再次提交给科学院自己的论文《热的解析理论》。在1822年，它使得傅立叶分析的技术被广泛地利用，这将广泛应用于数学和整个科学领域。
而这一次大家都接收了他的文章，并且获得了大奖。但是傅立叶的文章没有发表。
而之后拉普拉斯用自己敏锐的洞察力，知道了傅立叶级数之后，得到了名垂青史的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换被发明后，有很多人认为他是踩在傅立叶的头顶上的，但是没有人敢否认这个伟大的发现。
1906年，贝特曼（Bateman）将拉普拉斯变换应用于积分方程。
1907年，里斯（Riesz）证明了关于希尔伯特空间上傅立叶分析的“里斯-费舍尔定理”。
1948年，施瓦茨（Schwartz）出版了《函数、微商、傅里叶变换概念的推广及其在数学物理中的应用》（Généralisation de la notion de fonction， de dérivation， de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques），这是他关于广义函数论的第一篇重要出版物。
1965年，杜奇（Tukey）与库利（Cooley）发表了一篇论文，介绍了快速傅立叶变换算法。
1978年，费夫曼（Fefferman）由于他在偏微分方程、傅立叶分析，特别是收敛性、乘数算子、发散性、奇异积分与“哈代空间”的工作获得菲尔兹奖。
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